🧮 베이즈 정리와 부활의 수학

(이 글은 메인 에세이의 부록입니다. 한국어 원문 에세이로 가려면 여기를 클릭하십시오.)

주요 계산 과정을 살펴보되, _N_명의 독립적 목격자들을 고려하여 몇 가지 세부 사항을 추가하겠습니다. 수학에 능숙하지 않으시더라도, 이 과정이 우리가 매일 사용하는 사고 방식의 핵심 측면들을 이해하는 데 도움이 될 것이라고 믿습니다: 새로운 증거에 비추어 기존 믿음을 지속적으로 업데이트하는 방식, 여러 독립적 증인의 기하급수적으로 강력한 영향, 그리고 열린 마음의 중요성—곧, 사전 확률을 절대 0으로 설정하지 않는 것입니다. 사전 확률이 아무리 작더라도 0보다 크기만 하면, 독립적이고 신뢰할 수 있는 증언들의 압도적인 무게가 처음에 그 사건이 얼마나 불가능해 보였든 상관없이 믿음을 더 증거에 기반한 결론으로 쉽게 이동시킵니다. 이것이 베이즈 추론의 힘입니다—증거가 낮은 사전 확률에서 시작하더라도 우리의 이해를 진정으로 재형성할 수 있음을 보여줍니다.

베이즈 정리의 공식화

먼저 몇 가지 용어를 정의하겠습니다:

• **P(M)**은 기적 M이 일어났을 사전 확률(또는 원하신다면, 여러분의 초기 믿음 또는 전제)을 나타냅니다. 이 경우 우리는 예수님의 3일 만의 부활에 대해 이야기하고 있습니다.
• **P(M|O)**는 사후 확률, 즉 증거 O(목격자 증언 등)를 고려했을 때 기적 M에 대한 업데이트된 믿음입니다.
• **P(O)**는 증거 O가 발생할 전체 확률입니다. 이는 전체 확률을 적절하게 정규화하고 사후 확률에 도달하는 데 도움이 되는 중요한 요소입니다.
• **P(O|M)**은 더 도전적인 개념이지만 베이즈 정리를 이해하는 데 필수적입니다. 이는 부활이 실제로 일어났다고 가정할 때 증거(목격자 증언)의 가능성을 의미합니다—사건이 일어났다고 가정했을 때 그 증언이 얼마나 그럴듯한지를 나타냅니다.

베이즈 정리 자체는 다음과 같이 말합니다:

목격자 증언을 고려했을 때 예수님 부활의 사후 확률은, 부활이 일어났다고 가정했을 때 그 증언들이 참일 확률(적절하게 정규화된)에 부활 같은 초자연적 사건이 일어날 수 있다는 사전 확률을 곱한 것과 같습니다.

이를 수학적으로 표현하면:

이제 분모를 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

약간의 재배열을 통해 사후 확률의 표현을 단순화할 수 있습니다:

이 시점에서 공식이 다소 복잡해 보일 수 있지만, 걱정하지 마십시오—두 가지 핵심 비율로 요약됩니다:

1. 사전 확률의 비율: 부활이 실제일 확률 대 실제가 아닐 확률.
2. 증거의 가능성 비율: 부활이 일어났다고 가정할 때 대 일어나지 않았다고 가정할 때 목격자 증언이 얼마나 그럴듯한가.

첫 번째 비율에 집중해 보겠습니다. 여기서 핵심은 열린 마음의 중요성입니다. 이는 기적이 아무리 불가능해 보여도 기적에 대한 사전 확률을 0으로 가정하지 않는다는 것을 의미합니다. 수학적으로:

더 간단히 말하면, 우리는 부활이 가능하다는 0이 아닌 확률을 할당합니다.

지난 한 세기 동안의 양자역학의 발전에 비추어 보면, 이 0이 아닌 사전 확률은 단지 합리적인 것만이 아니라—실제로 우주에 대한 현재의 이해와 일치합니다. 양자 이론은 아무것도 엄격히 “불가능”하지 않고—단지 “가능성이 낮을” 뿐이라고 가르칩니다. 이 논리에 따르면, 기적을 사전 확률을 0으로 설정하여 전적으로 배제하는 것은 모든 현상을 확률이 지배하는 현대 과학의 원리 자체와 모순됩니다.

여러 독립적 목격자들

이제 두 번째 비율에 집중해 보겠습니다. _N_명의 독립적 목격자들의 증언을 어떻게 계산에 통합할 수 있을까요?

이를 위해 독립 사건에 대한 곱셈 규칙이라고 알려진 확률의 핵심 규칙을 적용해야 합니다. 이 규칙은 다음과 같이 말합니다:

간단히 말하면, 두 독립 사건 A와 B 모두 발생할 확률은 각각의 개별 확률의 곱이라는 것입니다.

이제 이 개념을 _N_명의 독립적 목격자들로 확장해 보겠습니다. _N_명의 목격자들이 독립적으로 기적(즉, 부활)을 목격할 확률은 각 개별 증언의 확률의 곱입니다. 수학적으로 이를 다음과 같이 씁니다:

이 방정식은 각 목격자 증언의 확률을 곱하여 부활이 일어났다고 가정했을 때 증거의 전체 가능성을 찾는 방법을 보여줍니다.

이를 통해 이전의 가능성 비율을 다음과 같이 재작성할 수 있습니다:

여기서 t는 독립적 목격자의 평균 신뢰성을 나타냅니다. 이 맥락에서 신뢰성은 두 확률의 비율로 정의됩니다: 부활이 실제로 일어났다고 가정할 때 목격자가 부활을 보았다고 증언할 확률 대 부활이 일어나지 않았다고 가정할 때 목격자가 거짓으로 그것을 보았다고 주장할 확률.

반사회적 인격이 없는 평균적인 사람의 경우, 우리는 이 t 값이 1보다 클 것으로 합리적으로 예상할 수 있습니다. 이는 대부분의 사람들이 일반적으로 진실하며 진정으로 경험하지 않고는 그런 증언을 만들어내지 않을 것이라는 생각을 반영합니다.

종합하면, 사후 확률의 표현은 이제 다음과 같이 읽힙니다:

이제 컴퓨터의 아버지 찰스 배비지의 발자취를 따라 부활에 대한 증거를 평가하는 데 관련된 몇 가지 핵심 확률을 계산해 보겠습니다. 베이즈 정리의 원칙을 기반으로 예수님의 부활 가능성을 추정하기 위해 수치 근사치를 사용할 것입니다. 이를 위해 세 가지 주요 요소에 대한 교육적 추측을 해야 합니다:

• t = 2. 이는 개별 목격자의 “신뢰성”을 나타내며, 1이 완전한 불확실성(본질적으로 신뢰 없음)을 의미하고 1 이상은 신뢰성을 나타내는 척도에서 표시됩니다. 여기서 우리는 2를 매우 보수적인 추정치로 사용할 것인데, 이는 각 목격자가 평균적으로 거짓말할 가능성보다 진실을 말할 가능성이 2배 높다고 가정한다는 것을 의미합니다. 이는 겸손한 추정입니다—사건의 성격과 관련된 사람들의 성품을 고려할 때, 이 수치는 쉽게 더 높을 수 있습니다.
• N = 500. 독립적 목격자의 수. 우리는 특히 고린도전서 15:6을 근거로 합니다:

“그 후에 오백여 형제에게 일시에 보이셨나니 그 중에 지금까지 대다수는 살아 있고 어떤 사람은 잠들었으며”

고린도전서 15:6 (개역개정)

이것은 소수의 증인이 아니라, 모두 같은 시간에, 모두 같은 사건을 증언하는 대규모 집단입니다. 참고로: 그렇게 큰 집단에서 대규모 환각이 동시에 발생한다는 생각은 매우 믿기 어렵고, 우리가 아는 한 인류 역사에서 문서화된 적도 없습니다.

• ε = 10⁻¹⁰⁰. 이것은 사전 확률로, 계산의 출발점으로 사용됩니다. 부활 같은 초자연적 사건이 발생할 가능성을 초기에 얼마나 믿느냐를 나타냅니다. 10⁻¹⁰⁰은 상상할 수 없을 만큼 작은 숫자입니다—일상에서 접하는 어떤 것보다 훨씬 작습니다. 비유하자면, 이것은 은하단 전체에서 정확한 원자 하나를 무작위로 선택하는 확률입니다. 그러나 여전히 0이 아닙니다. 핵심은 사전 확률이 천문학적으로 작더라도, 가능성을 완전히 배제할 만큼 작지 않다는 것입니다. 0이 아닌 이상, 추가적인 증거(목격자 증언 등)가 최종 결론에 영향을 미칠 수 있습니다.

실제로 최근 양자역학의 발전에 비추어 보면, 이 0이 아닌 사전 확률은 합리적일 뿐만 아니라 현대 과학적 사고와도 일치합니다. 데이비드 흄이 그의 에세이 _기적에 대하여_에서 기적에 대한 사전 확률을 사실상 0으로 설정하여 불가능한 것으로 전적으로 배제한 것은 확률의 본질과 과학적 탐구 자체의 원리를 심오하게 무시하는 것입니다. 흄은 오만하게도 초자연적인 것의 어떤 가능성에도 문을 닫음으로써, 새로운 증거가 우리의 믿음을 형성하는 잠재력을 무시했을 뿐만 아니라 현대 과학의 원리 자체와 모순되었습니다. 대조적으로, 사전 확률을 0이 아닌 것으로 유지함으로써 우리는 이성과 과학적 이해 모두와 일치하는 방식으로 증거—신뢰할 수 있는 목격자 증언 같은—가 우리의 믿음을 업데이트할 여지를 남깁니다.

이제 계산해 보겠습니다. 먼저 공식 t^N을 사용하여 목격자들의 기여를 계산합니다:

독립적 증언들의 영향은 기하급수적으로 증가합니다—10의 167승—이들의 결합된 힘이 압도적으로 강력하게 증폭되는 방식을 보여줍니다.

이제 베이즈 정리를 사용하여 사후 확률을 계산할 수 있습니다. 이는 증거를 고려했을 때 부활이 얼마나 가능한지를 알려줍니다:

이 근사치는 부활의 사후 확률이 사실상 100%, 즉 소수점 이하 65자리 9가 연속되는 **99.999…%**임을 보여줍니다! 다시 말해, 부활하신 예수님을 보았다고 증언한 500명의 독립적 목격자들이라는 압도적인 증거로 우리의 사전 믿음을 업데이트하면, 부활이 실제로 일어났을 확률이 급격히 치솟습니다.

처음부터 끝까지 전체 베이즈 계산 과정을 살펴봄으로써, 이제 우리가 매일 사용하는 과정의 핵심 측면들을 더 잘 이해하시기 바랍니다: 새로운 증거에 비추어 기존 믿음을 지속적으로 업데이트하는 방식, 여러 독립적 증인의 기하급수적으로 강력한 영향, 그리고 열린 마음의 중요성—곧, 사전 확률을 절대 0으로 설정하지 않는 것. 사전 확률이 아무리 작더라도 0보다 크기만 하면, 독립적이고 신뢰할 수 있는 증언들의 압도적인 무게가 처음에 그 사건이 얼마나 불가능해 보였든 상관없이 믿음을 더 증거에 기반한 결론으로 쉽게 이동시킵니다. 이것이 베이즈 추론의 힘입니다—증거가 낮은 사전 확률에서 시작하더라도 우리의 이해를 진정으로 재형성할 수 있음을 보여줍니다.

(메인 에세이로 돌아가려면 여기를 클릭하십시오.)